【向量的向量积公式怎么推导的?】在向量运算中，向量积（也称为叉积）是一种重要的运算方式，常用于三维空间中的物理和几何问题。向量积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原两个向量所组成的平面，大小则与这两个向量的模及夹角有关。本文将从基本定义出发，逐步推导出向量积的公式，并通过表格形式进行总结。
一、向量积的基本概念
设两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的向量积记为 $\vec{a} \times \vec{b}$，结果是一个向量，其方向由右手定则确定，大小为：
$$
$$
其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。
二、向量积的公式推导
1. 定义法推导
向量积的定义可以表示为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
$$
展开这个行列式，得到：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
因此，向量积的坐标形式为：
$$
\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)
$$
2. 几何意义推导
根据向量积的几何定义，$\vec{a} \times \vec{b}$ 的模等于以 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于该平面，符合右手螺旋法则。
三、向量积公式的总结
| 内容 | 描述 | ||||||
| 定义 | 向量积是两个向量的乘积，结果为一个向量，方向垂直于原两向量所在的平面 | ||||||
| 符号 | $\vec{a} \times \vec{b}$ | ||||||
| 模长公式 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$ | |
| 方向判断 | 右手定则：拇指指向 $\vec{a}$，食指指向 $\vec{b}$，中指方向即为向量积方向 | ||||||
| 坐标计算公式 | $\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2,\ a_3b_1 - a_1b_3,\ a_1b_2 - a_2b_1)$ |
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}$
四、小结
向量积的公式可以通过行列式展开法或几何定义进行推导。其核心在于理解向量积的方向性和模长的计算方式。掌握这一公式不仅有助于解决数学问题，也在物理、工程等领域有广泛应用。通过上述表格，可以更清晰地理解向量积的各项属性和计算方法。
